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带你走进奇妙的数学世界

admin
百班千人
2023-03-22 08:07

01

无处不在的无理数

我们经常使用的复印纸有A、B两种类型，它们的规格（单位：毫米）如下：

现在请你计算一下各种型号复印纸长和宽的比。

拿A0型纸为例，做个计算：1189÷841=1.4137……≈1.42≈√2。再多算几个，你会发现，原来这两种类型的纸，长和宽的比都约等于1：√2。

这是在第二次世界大战期间规定的。当时物资匮乏，一切都要从节约的角度去考虑。把纸做成长和宽的比是1：√2，你把它一半裁开，把原来纸的长和宽看作是1和√2，这时半张纸的长和宽分别是√2/2和1。

做个√2/2：1=√2：2=1：√2，看，和原来纸的比例相同！也就是说，用这种纸，按照一半一半裁出的纸，外形都是相似的，没有剩余的碎纸边，避免了浪费。

不知大家是否注意过平时用的教科书的形状？

来，随手拿一本教科书，动手量量它的宽和长，计算一下宽和长的比，你会发现比值接近0.618。再多量几本，咦，怎么差不多都是这个数？这里面有什么秘密吗？原来，在美学上，人们认为按这个比例做成的书本看起来更和谐、更好看。

0.618是什么？

数学上把0.618 叫作“黄金数”，听这个名字就知道这个数非常重要、非常宝贵。

黄金数在绘画、建筑、科学试验上有着广泛的应用。世界七大奇迹之一的胡夫金字塔，其高度与底部边长之比约是黄金数；风姿绰约的爱神维纳斯，其下身和全身之比也都接近黄金数。看，生活中的黄金数不少吧！不过，实际上0.618只是黄金数的近似值，它的真值是(√ 5-1)/2，是个无理数。

02

1与0.999相等吗？

小学我们学过化分数为小数的方法。比如，化 1/3为小数，通过做除法可得：

1/3=0.333……，这是一个无限循环小数。

现在我问你：3个1/3相加结果得多少？

1/3+1/3+1/3=0.333……+0.333……+0.333……左端相加等于1，右端相加等于0.999……因此有：

1=0.999…….

有不少学生对上面这个等式产生过怀疑。他们总觉得左边是一个有限整数1，而右边是无限循环小数0.999……

一个有限数怎么可能和一个无限数相等呢？

0.999……应该比1小一点点才对！可是，上式中二者之间画的是等号，表示两边确实相等。

这究竟是怎么回事？

原来，这是“无限和有限相互转化”在作怪。等式1=0.999……表示无限循环小数0.999……在无限情况下最后转化成了有限数1！

真奇妙呀，一个无限数最后竟然转化成了有限数！人们要是早点认识到这个问题，就不会被芝诺“折磨”那么长时间了。

03

阿溪里斯永远追不上乌龟

芝诺是公元前4世纪古希腊著名的诡辩学家。他编造了许多专门与人为难的问题，其中最著名的一个问题是“阿溪里斯追不上乌龟”。

阿溪里斯是古希腊神话中善跑的勇士。芝诺说，阿溪里斯尽管跑得非常快，但是他永远也追不上一只在他前面爬行的乌龟。这是怎么回事呢？

芝诺说，假设乌龟从A点起在前面爬，阿溪里斯从O点出发在后面追。当阿溪里斯追到乌龟的出发点A时，乌龟同时向前爬行了一小段——到了B点；当阿溪里斯从A点再追到B点时，乌龟又向前爬行了一小段——到了C点。

依此类推，阿溪里斯每次都需要先追到乌龟的出发点，而在阿溪里斯往前追的同时，乌龟总是又向前爬行了一小段。尽管阿溪里斯离乌龟越来越近，可是永远也别想追上乌龟。

阿溪里斯实在是委屈呀！没想到一世英名葬送在乌龟的脚下。

两千多年来，芝诺的这个问题不知难倒了多少人。大家都知道阿溪里斯委屈，但是谁也不知道该怎样去驳倒芝诺，替阿溪里斯申冤。

现在有了0.999……=1，也就是0.9+0.09+0.009+……=1，我们就可以驳倒芝诺，还阿溪里斯清白了。

假定阿溪里斯的奔跑速度为10米/秒，乌龟的爬行速度为1米/秒。乌龟的出发点为A，阿溪里斯的出发点为O，OA=9米。

当阿溪里斯用0.9秒跑完9米到了A点，乌龟在0.9秒的时间内，向前爬行了0.9米，到了B点；阿溪里斯再用0.09秒跑完0.9米，到了B点，乌龟又向前爬行了0.09米，到了C点……

阿溪里斯一段一段地向前追赶，所用的总时间t和总距离s，分别是：

t=0.9+0.09+0.009+……（秒）

s=9+0.9+0.09+……（米）

因为 0.9+0.09+0.009+……=0.999……=1

所以 t=1（秒）

s=10×（0.9+0.09+0.009+……）

=10×1=10（米）

计算表明，阿溪里斯只用了1秒钟，跑了10米路，就把乌龟追上了。无限循环小数0.999……和有限整数1之间的相等关系，帮助我们解决了这个千古难题。

你看，数学是不是很好玩、很有趣？如果你觉得数学很难，很大一部分原因是没有人告诉你，数学是干什么的？

很多学生之所以觉得数学枯燥，就是因为他不知道自己到底在学什么？

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